“Slope Deflection”

MODUL 4 : METODA “Slope Deflection”
4.1. Judul : Metoda “Slope Deflection”

Tujuan Pembelajaran Umum
Setelah membaca bagian ini mahasiswa akan dapat memahami apakah metoda “Slope Deflection” dan bagaimana metoda “Slope Deflection” dipakai untuk menyelesaikan struktur statis tidak tertentu.

Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa selain dapat memahami metoda “Slope Deflection” juga dapat menyelesaikan suatu struktur statis tidak tertentu yaitu menghitung semua gaya luar (reaksi perletakan) dan gaya-gaya dalam (gaya normal, gaya lintang, momen batang) dari struktur tersebut dengan menggunakan metoda “Slope Defclection”.

4.1.1. Pendahuluan
Berbeda dengan metoda-metoda yang telah dibahas sebelumnya, yaitu metoda “Consistent Deformation” yang memakai gaya luar (reaksi perletakan) sebagai variabel dan metoda “Persamaan Tiga Momen” yang memakai gaya dalam (momen batang) sebagai variable, untuk metoda “Slope Deflection” ini rotasi batang dipakai sebagai variable. Maka dari itu untuk metoda “Consistent Deformation” dan metoda “Persamaan Tiga Momen” yang variabelnya berupa gaya luar ataupun gaya dalam dikategorikan sebagai “Force Method” sedangkan metoda “Slope Deflection” yang memakai rotasi batang sebagai variabel dikategorikan sebagai “Flexibility Method”. Dengan ketentuan bahwa pada batang-batang yang bertemu pada suatu titik simpul (joint) yang disambung secara kaku mempunyai rotasi yang sama, besar maupun arahnya, maka pada batang-batang yang bertemu pada titik simpul tersebut mempunyai rotasi yang sama, atau boleh dikatakan sama dengan rotasi titik simpulnya. Sehingga dapat dikatakan jumlah variabel yang ada sama dengan jumlah titik simpul (joint) struktur tersebut.
Besarnya variabel-variabel tadi akan dihitung dengan menyusun persamaan-persamaan sejumlah variabel yang ada dengan ketentuan bahwa momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul haruslah dalam keadaan seimbang atau dapat dikatakan jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Disini diperlukan perumusan dari masing-masing momen batang sebelum menyusun persamaan-persamaan yang dibutuhkan untuk menghitung variabel-variabel itu. Rumus-rumus momen batang tersebut mengandung variabel-variabel yang ada yaitu rotasi titik simpul.
Dengan persamaan-persamaan yang disusun, besarnya variabel dapat dihitung. Setelah besarnya variabel didapat, dimasukkan kedalam rumus-rumus momen batang, maka besarnya momen batang-batang tersebut dapat dihitung. Demikianlah konsep dari metoda “Slope Deflection” untuk menyelesaikan struktur statis tidak tertentu.


4.1.2. Perumusan Momen Batang
Momen batang dapat ditimbulkan dengan adanya beban luar, rotasi titik simpul ujung-ujung batang dan juga akibat perpindahan relatif antara titik simpul ujung batang atau yang biasa disebut dengan pergoyangan. Seberapakah besarnya momen akibat masing-masing penyebab tadi, dapat diturunkan sebagai berikut :


A. Batang dengan kedua ujungnya dianggap jepit.
1. Akibat beban luar
Momen batang akibat beban luar ini seterusnya disebut sebagai Momen Primair (MP), yaitu momen akibat beban luar yang menggembalikan rotasi nol ( = 0) pada ujung batang jepit.






























Dari ketiga pembebanan tadi, rotasi di i dan j haruslah sama dengan nol (karena i dan j adalah jepit).
ij = (1)
ji = (2)
Dari kedua persamaan itu didapatkan besarnya Mpij dan Mpji yaitu :
MPij = MPji = qL²
Dengan cara yang sama dapat diturunkan rumus besarnya momen primair dari beban terpusat sebagai berikut :









2. Akibat rotasi di i (ij)

















Besarnya rotasi di i : ij =
Dengan memasukkan Mji = ½ Mij, didapat
ij = (4)
Sehingga didapat besarnya momen akibat ij :
Mij =
Kita buat notasi baru yaitu kekakuan sebuah batang (K) dengan definisi :
Kekakuan batang (K) adalah besarnya momen untuk memutar sudut sebesar satu satuan sudut ( = 1 rad), bila ujung batang yang lain berupa jepit.
Untuk ij = 1 rad, maka Kij =
3). Akibat rotasi di j (ji)






4). Akibat pergoyangan ()







Karena ujung-ujung i dan j jepit maka akan timbul momen Mij dan Mji untuk mengembalikan rotasi yang terjadi akibat pergoyangan. Seolah-olah ujung i dan j berotasi ij = ji = , sehingga besarnya momen :
Mij =
Mji =
Dari keempat hal yang menimbulkan momen tadi, dapat ditulis rumus umum momen batang sebagai berikut :
Untuk i dan j jepit :
Mij = MPij + (4.1 – 1a)
MPji = MPji + (4.1 – 1b)
Dengan Kij =
Mij = MPij + K (ij + ½ ji + 1,5 ) (4.1 – 2a)
Mji = MPji + K (ji + ½ ij + 1,5 ) (4.1 – 2b)

B. Batang dengan salah salah satu ujungnya sendi / rol
1. Akibat beban luar
Dengan cara yang sama seperti pada balok dengan i dan j jepit, didapat besarnya momen primair (akibat beban luar) sebagai berikut :













2). Akibat rotasi di i (ij)










3). Akibat pergoyangan ()






Mij mengembalikan rotasi di i sama dengan nol (ij = 0) seolah-olah di i berotasi ij = , sehingga timbul momen : Mij = ij =

4). Akibat momen kantilever, kalau di ujung perletakan sendi ada kantilever : (jk– batang kantilever)







Dari keempat hal yang menimbulkan momen batang diatas dapat dituliskan secara umum momen batang sebagai berikut :
Untuk ujung j sendi / rol :
Mij = MP’ij + (4.1 – 3)
Dengan K’ = , rumus tersebut diatas dapat ditulis
Mij = MP’ij + K’ (ij + ) - Mjk (4.1 – 4)
Jadi kita mempunyai dua rumus momen batang, pertama dengan ujung-ujung jepit-jepit, kedua dengan ujung-ujung jepit sendi. Yang dikatakan ujung jepit bila ujung batang betul-betul perletakan jepit atau sebuah titik simpul yang merupakan pertemuan batang dengan batang (tidak termasuk katilever). Sedangkan yang dikatakan ujung batang sendi yang betul-betul perletakan sendi, bukan berupa titik-titik simpul.
Kalau kita perhatikan pada perumusan batang dengan jepit-jepit, rumus (4.1-1 dan 4.1-2) disana ada dua variabel rotasi yaitu ij dan ji, sedangkan untuk batang dengan ujung jepit-sendi, perumusannya hanya mengandung satu variabel rotasi yaitu ij, rotasi pada perletakan sendi (ji) tidak pernah muncul dalam perumusan.
Untuk menunjukkan arah momen batang dan rotasi, dalam perumusan momen batang perlu diadakan perjanjian tanda sebagai berikut :
Momen batang positif (+) bila arah putarannya searah jarum jam ( ), dan negatif (-), bila arah putarannya berlawanan arah jarum jam ( ).
Demikian juga untuk arah rotasi, kita beri tanda seperti pada momen batang. Untuk akibat beban luar (MP) tanda momen bisa positif (+) atau negatif (-) tergantung beban yang bekerja, demikian juga akibat pergoyangan bisa positif (+) atau negatif (-) tergantung arah pergoyangannya. Untuk rotasi, karena kita tidak tahu arah sebenarnya (sebagai variabel) selalu kita anggap positif (+).



4.1.3. Langkah-langkah yang harus dikerjakan pada metoda “Slope Deflection”
Untuk menyelesaikan perhitungan struktur statis tidak tertentu dengan metoda “Slope Deflection” urutan langkah-langkah yang harus dikerjakan adalah sebagai berikut :
 Tentukan derajat kebebasan dalam pergoyangan struktur statis tidak tertentu tersebut, dengan rumus :
n = 2 j – (m + 2f + 2h + r)
dimana :
n = jumlah derajat kebebasan
j = “joint”, jumlah titik simpul termasuk perletakan.
m = “member”, jumlah batang, yang dihitung sebagai member adalah batang yang dibatasi oleh dua joint.
f = “fixed”, jumlah perletakan jepit.
h = “hinged”, jumlah perletakan sendi.
r = “rool”, jumlah perletakan rol.
Bila n < 0  tidak ada pergoyangan.
n > 0  ada pergoyangan
 Kalau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan ada tentukan arah momen akibat pergoyangan, untuk menentukan tanda positif (+) ataukah negatif (-) momen akibat pergoyangan tersebut (untuk menggambar pergoyangan ketentuan yang harus dianut seperti pada metoda “Persamaan Tiga Momen”).
 Tentukan jumlah variabel yang ada. Variabel yang dipakai pada metoda ini adalah rotasi () titik simpul, dan delta () kalau ada pergoyangan.
 Tuliskan rumus momen batang untuk semua batang yang ada dengan rumus (4.1.1 s/d 4.1.4.) dimana akan mengandung variabel-variabel ( dan ) untuk masing-masing rumus momen batang tersebut.
 Untuk menghitung variabel-variabel tersebut perlu disusun persamaan-persamaan sejumlah variabel yang ada. Persamaan-persamaan itu akan disusun dari :
- Jumlah momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol.
- Kalau ada variabel , perlu ditambah dengan persamaan keseimbangan struktur. Seperti juga pada metoda “Persamaan Tiga Momen”, dalam menyusun persamaan keseimbangan struktur pada dasarnya membuat perhitungan “free body diagram” sehingga mendapatkan persamaan yang menghubungkan satu variabel dengan variabel yang lain. Pada penggambaran arah momen, momen yang belum tahu besarnya (masih dalam perumusan) digambarkan dengan arah positif (+) yaitu searah jarum jam ( )
 Dengan persamaan-persamaan yang disusun, dapat dihitung besarnya variabel-variabelnya.
 Setelah variabel-variabel diketahui nilainya, dimasukkan kedalam rumus momen-momen batang, sehingga mendapatkan harga nominal dari momen-momen batang tersebut.

4.2. Penyelesaian struktur statis tidak tertentu dengan metoda “Slope Deflection”
Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa konsep dari metoda “Slope Deflection” adalah memakai rotasi titik simpul () sebagai variabel dan juga pergoyangan () kalau struktur kita dapat bergoyang. Variabel-variabel tadi akan akan dipakai didalam perumusan momen-momen batang karena rumus momen batang mengandung unsur-unsur akibat beban rotasi titik simpul () dan defleksi relatif (pergoyangan - ). Untuk menghitung besarnya variabel-variabel tersebut, disusun persamaan-persamaan sejumlah variabel yang ada dari persyaratan keseimbangan titik simpul dan kalau ada variabel pergoyangan () ditambah dengan persamaan keseimbangan struktur. Setelah variabel-variabel tersebut dapat dihitung, kita masukkan kedalam rumus momen batang kita dapatkan besarnya momen-momen batang tersebut. Karena metoda ini memakai varibel rotasi dan pergoyangan maka metoda ini disebut metoda “Slope Deflection”.

4.2.1. Contoh-contoh penyelesaian dengan metoda “Slope Deflection”

1.






Ditanyakan : - Hitunglah momen-momen batangnya dengan metoda “Slope Deflection”.
- Gambarkan bidang M, D dan N-nya.

Penyelesaian :
 n = 2j – (m + 2f + 2h + r)
= 2 x 3 – (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 2) = 0  tidak ada pergoyangan
 A jepit  A = 0 B – titik simpul ada B
C rol  C tidak sebagai variabel.
Jadi variabelnya hanya satu yaitu B
 Rumus Momen Batang
Rumus Umum :
Untuk i, j jepit : Mij = MPij + Kij (ij + ½ ji + 1,5 )
Untuk j sendi / rol : Mij = MP’ij + K’ij (ij + ) – ½ Mjk

Momen-momen primair :








Kekakuan Batang :
AB – jepit-jepit KAB = KBA =
BC – jepit-sendi K’BC =
MCD = - P2xL = - 1,5 x 2 = -3 tm (momen kantilever)
MCB = - MCD = + 3 tm
MAB = - 3 + EI (A + ½ B) = - 3 + 0,5 EIB
MBA = + 3 + EI (B + ½ A) = + 3 + EI B
MBC = - 4,5 + EI B – ½ (-3) = -3 + EI

 Persamaan :
MB = 0  MBA + MBC = 0
(3 + EI B) + (-3 + EI B) = 0  EI B = 0
 Momen Batang :
MAB = -3 + 0,5 x 0 = - 3 tm
MBA = + 3 + 0 = + 3 tm
MBC = - 3 + 0 = - 3 tm
























2.

















Gambar 4.12. Pergoyangan dan arah momen akibat pergoyangan

 A rol  A tidak sebagai variabel
D jepit  D = 0
B titik simpul, ada variabel B
Jumlah variabel ada 2 yaitu B dan .
 Rumus Momen Batang
i j jepit : Mij = MPij + Kij (ij + )
j sendi / rol : Mij = MP’ij + K’ij (ij + ) - Mjk
Momen Primair :





Batang BD tidak momen primair karena tidak ada beban pada bentang BD.
Kekakuan batang :
A rol  K’BA =
KBD = KDB =


MBA = +3 + 1,5 EI B
MBC = - PL = - 3 x1 = - 3 tm

MBD = 0 + 0,75 EI (B + ½ B – 1,5 ) = 0,75 EI B – 0,375 EI
MDB = 0 + 0,75 EI (D + ½ B – 1,5 ) = 0,375 EI B – 0,375 EI
Persamaan

1). MB = 0  MBA + MBC + MBD = 0
(+3 + 1,5 EI B) – 3 + (0,75 EI B – 0,375 EI) = 0
2,25 EI B – 0,375 EI = 0 (1)


2). Persamaan keseimbangan struktur














EIB = 0 disubsitusikan ke persamaan (1) EI = 0

Momen-momen batang :

MBA = +3 + 1,5 EI B = 3 tm
MBC = - 3 tm
MBD = 0,75 x 0 – 0,375 x 0 = 0 tm
MDB = 0,375 x 0 – 0,375 x 0 = 0 tm













a). Free Body Diagram b). Bidang Gaya Normal (N)










c). Bidang Gaya Lintang (D) d). Bidang Momen (M)

Gambar 4.13

4.2.2. Soal Latihan

1).









Ditanyakan : - Hitunglah momen-momen batang dengan metoda “slope
deflection”
- Gambar bidang M, D dan N-nya.

 
2).










Ditanyakan : - Hitunglah momen-momen batang dengan metoda “slope
deflection”
- Gambar bidang M, D dan N-nya

3).











4).











Ditanyakan : - Hitunglah momen-momen batang dengan metoda “slope
deflection”
- Gambarkan bidang M, D dan N-nya.


4.2.3. Rangkuman
 Variable yang dipakai pada metoda “slope deflection” adalah rotasi titik simpul () dan perpindahan relatif ujung-ujung batang () kalau strukturnya dapat bergoyang.
 Rumus momen batang dipengaruhi oleh beban yang bekerja, rotasi titik simpul dari ujung-ujung batang, () dan perpindahan relatif antara ujung-ujung batang () kalau ada pergoyangan. Sehingga rumus-rumus momen batang mengandung variable  dan .
Rumus momen batang ;
Untuk i, j jepit Mij = MPij + Kij (ij + ½ ji + 1 ½ )
Dimana Kij =
Untuk j sendi / rol Mij = MP’ij + K’ij (ij + ) – ½ Mjk
Dimana : K’ij =
Mjk momen kantilever

Perjanjian arah putaran momen dan rotasi adalah positif (+) untuk searah jarum jam ( ).
 Untuk menghitung variable - variabel yang ada disusun persamaan -persamaan dari :
- keseimbangan titik simpul, yaitu jumlah momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol.
- Kalau ada varibel , perlu persamaan keseimbangan struktur.

4.2.4. Penutup
Untuk mengukur prestasi, mahasiswa dapat melihat kunci dari soal-soal latihan yang ada sebagai berikut :

1).
.







2).










3).












4).









4.2.5. Daftar Pustaka
1. Chu Kia Wang “Satically Indeterminate Structures”, Mc Graw-Hill, Book Company, Inc.
2. Kinney, J.S. “Indeterminate Structural Analysis”, Addison-Wesley Publishing, Co.

4.2.6. Senarai
 Metoda “Slope Deflection” memakai rotasi titik simpul () dan perpidahan relatif ujung-ujung batang () kalau ada pergoyangan, sebagai variable.
 Menyusun rumus momen batang dengan variable  dan  didalamnya. Perjuangan tanda momen batang dan rotasi, positif (+) bila putarannya searah jarum jam ( ).
 Untuk menghitung variable-variabel yang ada, disusun persamaan-persamaan sejumlah variable tersebut dari :
- keseimbangan momen titik simpul.
- keseimbangan struktur, bila ada variable .
 
4.3. Penyelesaian Struktur Statis Tidak Tertentu Akibat Penurunan Perletakan dengan Metoda “Slope Deflection”
Pada metoda “slope defelection” langkah-langkah yang harus dikerjakan untuk menyelesaikan struktur statis tidak tentu akibat penurunan perletakan sama seperti pada akibat pembebanan luar yang telah disajikan dimuka. Hanya saja pada akibat penurunan perletakan dalam rumus momen batang, momen primair yang dipakai adalah besarnya momen akibat penurunan perletakan yang terjadi.
Jadi pada metoda “slope deflection” akibat penurunan perletakan digambarkan bentuk pergoyangannya dan digambarkan arah perputaran momen akibat pergoyangan tersebut dan dihitung besar nominalnya untuk dipakai sebagai momen primair dalam perumusan momen batang. Sehingga untuk struktur yang dapat bergoyang ada dua gambaran pergoyangan, yaitu pergoyangan akibat penurunan perletakan yang menghasilkan momen-momen primair batang, dan pergoyangan natural yang mengandung variable .

4.3.1. Contoh penyelesaian akibat penurunan perletakan






Kalau terjadi penurunan perletakan B sebesar 2 cm, hitunglah momen-momen batangnya dengan metoda “slope deflection” dan gambarkan bidang M, D dan N-nya.

Penyelesaian :
 n  2j – (m + 2 f + 2 h + r)
 2 x 3 – (2 + 2 x 1 + 2 x 0 +2)  0  tidak pergoyangan


 Jumlah variable :
A jepit A  0
B titik simpul ada B
C rol, C bukan variable
Jadi variabelnya hanya satu, B

 Rumus Momen Batang
Untuk i, j jepit : Mij  MPij + Kij (ij + ½ ji + 1,5 )
Untuk j sendi / rol : Mij  MP’ij + K’ij (ij + ) – ½ Mjk
- Momen Primair akibat B turun 2 cm  0,02 m








MPAB  MPBA  -
MP’BC 
- Kehalusan Batang : KAB  KBA 
K’BC 
MAB  - 10,667 + 0,667 EI (A + ½ B)  - 10,667 + 0,333 EI B
MBA  - 10,667 + 0,667 EI (B + ½ A)  - 10,667 + 0,667 EI B
MBC  + 12 + 0,75 EI B

 Persamaan : MB  MBA + MBC  0
(- 10,667 + 0,667 EI B) + (12 + 0,75 EI B)  0
1,417 EI B  - 1,333
EI B  - 0,941
 Momen Batang :
MAB  - 10,677 + 0,333 (- 0,941)  - 10,981 tm
MBA  - 10,667 + 0,667 (-0,941)  - 11,294 tm
MBC  + 12 + 0,75 (- 0,941)  + 11, 294 tm






















Gambar 4.14.









Penyelesaian :
 n  2j – (m + 2f +2h + r)
 2 x 3 – (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 1)  1  ada pergoyangan











 Jumlah Variabel :
A jepit, A  0, C rol, C bukan sebagai variable.
B titik simpul B
Jadi variabelnya ada 2, B dan .
 Rumus Momen Batang :
i, j jepit Mij  MPij + Kij (ij + ½ ji + 1 ½ )
j sendi / rol Mij  MP’ij + K’ij (ij + ) – ½ Mjk
 Momen Primair akibat penurunan perletakan










-Kekakuan batang :
KABKBA  E1
K’BC  0,75 EI
MAB  0 + EI (A + ½ B – 1,5 )  0,5 EI B – 0,375 EI 
MBA  0 + EI (B + ½ A – 1,5 ) – EI B – 0,375 EI 
MBC  + 12 + 0,75 EI B


 Persamaan :
- Keseimbangan momen titik simpul B
MB  0  MBA + MBC  0
(EI B – 0,375 EI ) + (12 + 0,75 EI B)  0
1,75 EI  - 0,375 EI  + 12  0 (1)





- Keseimbangan struktur







0 + (0,5 EI B – 0,375 EI ) + (EI B – 0,375 EI )  0
1,5 EI B – 0,75 EI   0 (2)

2 x (1) – (2)  2 EI B + 24  0
EI B  - 12
(1)  EI   - 24

MAB  0,5 (-12) – (0,375 (-24)  + 3 tm
MBA  1 x (-12) – 0,375 (-24)  - 3 tm
MBC  + 12 + 0,75 (-12)  + 3 tm























Gambar 4.15

4.3.2. Soal Latihan
1).




Ditanyakan : Hitunglah momen-momen batang dengan metoda “slope deflection” bila C turun 2 cm. Gambarlah bidang M, D dan N-nya.

2).









3).








Ditanyakan : -Hitunglah momen batangnya dengan metode “slope deflection”.
- Gambarlah Bidang M,D dan N nya.

4.3.3. Rangkuman
Pada penyelesaian struktur statis tidak tertentu akibat penurunan perletakan dengan metode “slope deflection”, harga momen primair pada rumus momen batang memakai besarnya momen batang akibat pergoyangan yang ditimbulkan oleh adanya penurunan perletakan yang terjadi

4.3.4. Penutup
untuk mengukur prestasi mahasiswa dapat melihat kunci dan soal-soal latihan yang ada sebagai berikut.
1).





 
2).










3).







4.3.5. Daftar Pustaka
1. Chu Kia Wang “Statically Indeterminate Structures”, Mc Graw-Hill, Book Company, Inc.
2. Kinney, J.S. “Indeterminate Structural Analysis”, Addison-Wesley Publishing Co.

4.3.4. Senarai
 Metoda “Slope Deflection” memakai rotasi titik simpul () dan perpidahan relatif ujung-ujung batang () kalau ada pergoyangan, sebagai variable.
 Menyusun rumus momen batang dengan variable  dan  didalamnya. Perjuangan tanda momen batang dan rotasi, positif (+) bila putarannya searah jarum jam ( ).
 Untuk menghitung variable-variabel yang ada, disusun persamaan-persamaan sejumlah variable tersebut dari :
- keseimbangan momen titik simpul.
- keseimbangan struktur, bila ada variable .